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  轨迹方程的教学     
轨迹方程的教学
[ 作者:韦辉梁    转贴自:本站原创    点击数:4315    更新时间:2011/2/23    文章录入:admin ]
.

轨迹方程的教学

2008/11

韦辉梁

 

. 概念

1. 甚么是轨迹 -- 动点留痕。

 

2. 轨迹研究的主要任务

数学上所研究的轨迹都是在一定几何结构中的动点的轨迹。即这些动点的运动是受它所处的几何结构的制约。由于几何结构是可描述的,因此,该轨迹也是可描述的。数学上研究轨迹的主要任务就是用数学方法(语言)去描述这条轨迹 -- 找出轨迹方程。

初中平面几何研究轨迹与高中解析几何研究轨迹的要求不同,初中平几只要求定性(语言)陈述轨迹是甚么,高中解几则要求定量(方程)描述轨迹是甚么 - 给出轨迹方程。

 

3. 轨迹研究的主要方法

(1) 首先是几何结构的描述

   方法1. 用语言描述某种几何结构,例如: "到两点距离相等的点的轨迹"

   方法2. 用图形表达某种几何结构,例如: 右图。

显然,无论几何结构或轨迹本身,都是一种几何图形,显然,用图形表达轨迹是必须的,特别是对作为初学者的学生更需要用图形来表达。但是,轨迹是动点留痕,印刷载体上的图形是静态的,教师在黑板上也只能画出静态的图形,都难以表达动态的点及其留痕。这正是轨迹教学的困难之处。要使学生(初学者)能更好地理解轨迹问题,必须借助能方便地表达动态点及其留痕的IT工具,例如DM_Lab

 

(2) 描述动点运动的要点

一般地,动点运动的轨迹类似于人在地面步行时留下的脚印。首先,轨迹是由许多脚印连接而成。每一步脚印包含3个要素: 起始位置,方向和步长。 因此,描述动点轨迹的要点包括: 点位置的描述,方向的描述和步长的描述。

1°. 点位置的描述 -- 用座标 (x, y)

2°. 方向的描述 -- 用向量 (x, y)

3°. 步长的描述 -- 用距离

   座标、向量、距离,是用数学描述轨迹的三个要素。

 

. 点位置的描述 -- 举例如下

1. 平面上任意一点的座标 A(x,y)

2. 直线 ax + by + c = 0 (b≠0) 上任意一点的座标 A

3. 直线 x = a 上任意一点的座标 A(a, k)

 

4. 曲线 y = f(x) 上任意一点的座标 A(x, f(x))

 

5. C为以O(0, 0)为心,R为半径的一个圆,A爲圆周上任一点,则A = R(cosθ, sinθ)

 

6. C为以Q(x0, y0)为心,R为半径的一个圆,A爲圆周上任一点,则

7. 线段AB中点的座标,其中,A(x1, y1)B(x2, y2),中点为C

8. 线段AB上任意一点C的座标,

  假设: A(x1, y1)B(x2, y2)CAB上任意一点。

CAB ==> AC = kAB

==> C = A + kAB    

 

: CD是线段AB3分点,其中,A(x1, y1)B(x2, y2),则

  

 

9. A(x1, y1)B(x, y)是沿方向 V(x, y),与A距离为d的一点,则

 

. 方向的描述

1. 用向量表示方向: V(x, y)

2.  V(x, y)的单位向量

3. 若已知方向角(x轴正向的夹角)α,则方向矢量为: V = (cos α, sin α)

 

4. A(x1, y1)B(x2, y2),则AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1)

AB的单位向量:  

5. 已知: V1 = (x1, y1)

  (1) V2 // V1,则 V2(x2, y2) = kV1 = k(x1, y1)

  (2) V2V1,则 V2(x2, y2) = (-y1, x1)   -- V2V1逆时针旋转90°得到。

                                 V2(x2, y2) = (y1, -x1)   -- V2V1顺时针旋转90°得到。

 

6. 已知: 直线 ax + by + c = 0 ,则直线的方向: V = (-b , a)  V = (b , -a)

 

7. C是以O(0, 0)为心,R为半径的一个圆,

  : 圆周上任一点A的座标是 A= R(cosθ, sinθ)

圆心到A的方向是: OA = (cosθ, sinθ)

A的圆的切线方向是: τ=(sinθ, -cosθ) τ=(-sinθ, cosθ)

 

8. C为以Q(x0, y0)为心,R为半径的一个圆,

  圆周上任一点A的座标是

     A的圆的切线方向是: τ=(sinθ, -cosθ) τ=(-sinθ, cosθ)

 

9. 已知: V1 = (x1, y1) V2(x, y) V1沿逆时针绕原点旋转θ角的向量,

 

掌握了上述一些表示座标和向量的数学方法,轨迹方程也就不难了。

 

. 轨迹问题举例

  轨迹常用参数方程表达,例如,

1. 已知 A(-3, 2)B(1, -2),求到AB距离相等的点的轨迹。

: 平几中已说明该轨迹是AB线段的中垂线。本题要给出该中垂线的方程。

1:

C(x, y),由AC = BC

==> (x +3)2 +(y - 2)2 = (x - 1)2 +(y + 2)2

==> 6x - 4y + 13 = -2x + 4y +5

==> 8x -8y + 8 =0

==> x - y + 1 = 0

 

2:

如图,自CAB作垂线,垂足为D,由平几知DAB中点。

(1) 中点

(2) AB的方向: VAB = (4, -4) = 4(1,-1)

(3) DC⊥AB VDC = (1, 1)

(4) D,沿方向VDC 的点C的座标: C:    (参数方程)

消去参数kC点的轨迹方程:  x - y + 1 = 0

DM_Lab演示轨迹的生成过程

作图

1. ,作线段ABA(-3,2)B(1,-2)

2. ,过AB作圆C

3. 点击C, C爲轨迹点;

4. 用鼠标移动C滑动,得C的轨迹。

 

DM_Lab检验轨迹方程

 在函数输入栏中输入函数:  fy => x+1

发现轨迹图线与函数图象重合,检验得方程是正确的。

 

 

2. 如图,圆O(0,0)的半径 R = 5A是圆周上一点,自Ax轴作垂线,垂足为B,沿OA方向截取OC = AB (这是几何结构的描述)

:  C点轨迹方程。

: (1) OA = 5 (cosθ, sinθ)

(2) |OC| = |AB| = 5|sinθ|

(3) OC = 5|sinθ| (cosθ, sinθ)

(4) 轨迹方程:

 

DM_Lab演示轨迹的生成过程

作图

1. ,作 "O为心半径为5的圆O"

2. ,在圆周上任取一点A

3. ,连结OA

4. ,自Ax轴作垂线,垂足为B

5. ,自O沿OA方向截取OC=AB

6. 点击C, C爲轨迹点,

7. 用鼠标移动A沿圆周滑动,得C的轨迹。

 

DM_Lab检验轨迹方程

在函数输入栏中输入参数函数:

  tf1=> x=5*abs(sin(t))*cos(t), y=5*abs(sin(t))*sin(t)

发现轨迹图线与函数图象重合,检验得方程是正确的。

 

 

3. 已知 :

1.        原点O(0,0),圆O半径为 4

2.        Ax轴上: A(5,0)

3.        B在圆周上,

4.        CDAB中垂线,CD长为 4

: D点的轨迹方程

 

1. :

(1) 写出ABC各点座标:

A = (5, 0)

B =( 4cosθ,  4sinθ)

(2) 写出向量


CD⊥CB|CD| = 4:

(3) 写出D点座标 -- D点轨迹的参数方程:

:

…… (1)

 

DM_Lab演示轨迹的生成过程

作图

1. ,作 "O为心半径为4的圆O"

2. ,在x轴上作一点A(5, 0)

3. ,在圆周上任取一点B

4. ,连结AB

 5. ,作AB中点C

 6. ,自CCDAB

 7. 用测量值表,测量CD长度;

 8. 用鼠标移动C点,监视测量值表上CD长度的变化,直到CD=4为止;

9. 点击D, D爲轨迹点,

10. 用鼠标移动B沿圆周滑动,得D的轨迹。

 

DM_Lab检验轨迹方程

在函数输入栏中输入参数函数:

tf=> x=(5+4*cos(t))/2+16*sin(t)/sqrt(5-4*cos(t))^2+(4*sin(t)^2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t))/sqrt(5-4*cos(t))^2+(4*sin(t)^2)

发现轨迹图线与函数图象重合,检验得方程是正确的。

 

 

 

4. 以变换观点进一步探究例3.

  在例3的几何结构中,记A(d, 0)B(Bx, By)

(1) B沿圆周运动时,産生D的轨迹,这一过程以变换观点来看,就是上面所得D点轨迹的参数方程其实是一种变换(f表示),它将圆变换成曲线(1)

(2) 注意到 B = (Bx , By) = (Rcosθ , Rsinθ),可将 ( f ) 改写如下:

        ……………  (f )

这是一个由BD的变换: 。如果B沿圆周运动,则就是变换:。如果B沿其它路线运动,则结果可能不再是眼眉曲线,而是其他形态的图形。

(3) 如果将B点安装在 y = sin(x) 曲线上,A点放在(1,0)处,CD长度取2,这时 d=1L=2

Ø     拖动B点沿正弦曲线移动,D点画出的轨迹如下图红线所示。

Ø     这时B点的座标是 ( t, sin t ),即 Bx = tBy = sin t

Ø     代入变换(f) D点轨迹的参数方程是:

     ……………   (2)

DM_Lab演示轨迹的生成过程

作图

1. 在函数输入栏中输入参数函数: fy=> sin(x)

2. ,在x轴上作一点A(1, 0)

3. ,在函数曲线上任取一点B

4. ,连结AB

 5. ,作AB中点C

 6. ,自CCDAB

 7. 用测量值表,测量CD长度;

 8. 用鼠标移动C点,监视测量值表上CD长度的变化,直到CD=2为止;

9. 点击D, 设, D爲轨迹点,

10. 用鼠标移动B沿函数曲线滑动,得D的轨迹。

 

DM_Lab检验轨迹方程

在函数输入栏中输入参数函数:

d=>1

L=>2

tf=>x=(d+t)/2+L*sin(t)/sqrt((d-t)^2+sin(t)*sin(t)), y=sin(t)/2+L*(d-t)/sqrt((d-t)^2+sin(t)*sin(t))

发现轨迹图线与函数图象重合,检验得方程是正确的。

 

其中红线是当B沿正弦曲线移动时,所得D点的轨迹。

蓝线是参数方程(2)的图线。两线重合,说明D点轨迹的参数方程就是方程(2)

从变换观点看:变换( f )可以将圆变换到曲线(1),也可以将正弦曲线变换到曲线(2)

 

 

文档下载:轨迹方程的教学.doc

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